Öğrenci Konu Notu 01 — Sayıların Gizli Düzeni: Tek mi, Çift mi?

Bu derste neler öğreneceğim?

• Tek ve çift sayıları, son rakamı ezberlemenin ötesinde ikişerli eşleme ile açıklayacağım.
• 0’ın neden çift olduğunu göstereceğim.
• Bir toplamın tek mi çift mi olacağını, büyük sayıları toplamadan tahmin edip gerekçelendireceğim.

Önceki derste bir düzeni fark edip “Neden?” diye sormuştuk. Bu kez bir işlemin sonucunu bulmadan sonuç hakkında ne söyleyebileceğimize bakacağız.

1. İkişerli eşleme

Sekiz noktayı ikişerli grupladığında dört çift oluşur ve hiç nokta artmaz:

● ●   ● ●   ● ●   ● ●

Dokuz noktada aynı dört çiftin yanında bir nokta kalır:

● ●   ● ●   ● ●   ● ●   ●

Doğal sayıları ikişerli eşlediğimizde artan kalmıyorsa çift, bir tane artıyorsa tek deriz. Bu tanım, çok büyük sayıları tek tek çizmemizi gerektirmez; düşüncemizin dayanağını verir.

0 da çifttir. Sıfır nesneyi eşlemeye çalıştığımızda artan nesne yoktur. “Çift olmak için en az iki nesne gerekir” düşüncesi doğru değildir.

Son rakam neden işe yarar?

Onluk sistemde onlar, yüzler ve daha büyük basamaklar onluk gruplardan oluşur. Onluk grupların her biri ikişerli eşleşebilir. Bu yüzden bir sayının tek mi çift mi olduğuna karar verirken birler basamağına bakmak yeterlidir: 0, 2, 4, 6, 8 ile bitenler çift; 1, 3, 5, 7, 9 ile bitenler tektir. Bu bir kısayoldur; arkasındaki fikir yine ikişerli eşlemedir.

Çözümlü örnek — 0 ve büyük sayı

Soru: 0 ve 247 tek mi çift mi?

Çözüm: 0 için artan nesne yoktur; dolayısıyla çifttir. 247’nin onluk grupları ikişerli eşleşir. Birler basamağındaki 7 nesneden üç çift ve bir artan kalır; bu yüzden 247 tektir.

2. Toplama yapmadan tahmin et

Bir çift sayı, ikişerli gruplardan oluşur. Bir tek sayıda bu gruplara ek olarak bir artan vardır. İki sayıyı birleştirelim:

Böylece yalnızca kuralı okumayız; neden doğru olduğunu da görürüz.

Çözümlü örnek — Sonucu hesaplamadan

Soru: 135 + 248 toplamı tek mi çift mi?

Çözüm: 135 tek, 248 çifttir. Tek sayının bir artanı, çift sayının artanı yoktur. Birleştirince bir artan kalır; toplam tektir. Kontrol etmek istersek 135 + 248 = 383 buluruz. Önceki gerekçe, toplamı hesaplamadan karar vermemizi sağladı.

Dikkat! “Tek + tek = çift” cümlesini ezberlemek yeterli değildir. İki artanın yeni bir ikili oluşturduğunu açıklayabilmelisin.

3. Birçok sayı toplanırsa

13 + 24 + 37 + 42 + 58 + 71 toplamında çift terimler tek–çift durumunu değiştirmez. Tek terimler 13, 37 ve 71’dir: üç tek terim vardır. İki tek terimi eşleştirince çift bir toplam olur, geriye bir tek kalır. Dolayısıyla bütün toplam tektir. Bütün sayıları toplamadık.

Buradan şu düşünme yolu çıkar: Bir toplamda tek terimlerin sayısı çiftse toplam çift, tekse toplam tektir. Çünkü tek terimleri ikişer ikişer birleştirebiliriz. Çift terimler yeni bir artan oluşturmaz.

Çözümlü örnek — Terimleri eşleştir

Soru: 17 + 20 + 31 + 48 + 53 + 60 + 75 toplamı tek mi çift mi?

Çözüm: Tek terimler 17, 31, 53, 75; yani dört tanedir. İkişer eşlersek (17 + 31) ve (53 + 75) çift sonuçlar verir. Diğer terimler de çifttir. Çift sonuçların toplamı çifttir. Sayıların tam toplamını bulmamız gerekmedi.

4. “Olamaz” ile “olabilir” arasındaki fark

Üç tek sayının toplamı tektir: ilk iki tek birleşince çift, üçüncü tek eklenince tek olur. Bu yüzden üç tek sayının toplamı 100 olamaz; 100 çifttir.

Dört tek sayının toplamı çifttir. Bu bilgi, 100 sonucunu tek–çift bakımından engellemez. Ama yalnız bu bilgiye bakarak “kesin 100 olur” diyemeyiz; sayıların büyüklüğü gibi başka koşulları da incelememiz gerekir.

Biraz Daha Düşün! — İsteğe bağlı

Çarpım için de bir düşünce var: Bir çarpanın kendisi ikişerli eşleşen gruplardan oluşuyorsa, o gruptan kaç tane alırsak alalım çarpım çift olur. Bu yüzden çarpanlardan en az biri çiftse çarpım çifttir. İki tek çarpanın çarpımı ise tektir: her tek gruptaki birer artan, tek sayıda grup olduğunda yine bir artan bırakır. Bu bölüm toplama konusunu anlamak için gerekli değildir.

5. Kısa özet

• Çift sayıda ikişerli eşlemeden artan kalmaz; tek sayıda bir artan kalır. 0 çifttir.
• Tek + tek ve çift + çift çifttir; tek + çift tektir. Gerekçe artan noktaların eşleşmesidir.
• Çok terimli toplamda tek terimleri sayıp ikişerli eşleştirebiliriz.
• Tek–çift bilgisi bir sonucu imkânsız gösterebilir; “mümkün” demek her zaman “kesin olur” demek değildir.

6. Ders Sonu Soruları

Soruların ilk bölümünü herkes çözebilir. Son iki soru seçmelidir. Cevabını yalnızca bir kural adıyla değil, gerekçeyle destekle.

1. (OKN-01) 0, 14 ve 19 sayılarının tek mi çift mi olduğunu yaz. 0 hakkındaki kararını ikişerli eşlemeyle açıkla.

Yanıtım: ..................................................................................
...............................................................................................

2. (OKN-02) 11 noktayı ikişerli gruplarsan kaç çift ve kaç artan oluşur? 12 nokta için de düşün. Hangisi tek, hangisi çift?

Yanıtım: ..................................................................................
...............................................................................................

3. (OKN-03) 327 + 486 toplamını hesaplamadan tek mi çift mi olduğunu söyle. Sonra işlem yaparak kontrol et.

Tahminim ve kontrolüm: ..............................................................
...............................................................................................

4. (OKN-04) “İki tek sayının toplamı çifttir” düşüncesini yalnız sayı örneği vermeden, artan noktaları kullanarak açıkla.

Açıklamam: ..................................................................................
...............................................................................................

5. (OKN-05) 18 + 27 + 35 + 42 + 61 toplamının tek mi çift mi olduğunu bütün toplamı hesaplamadan bul. Hangi terimlere baktığını ve nedenini yaz.

Açıklamam: ..................................................................................
...............................................................................................

6. (OKN-06) Bir arkadaşın “0 ne tek ne çifttir; çünkü ortada eşlenecek nesne yok” diyor. Tanımı kullanarak bu düşünceyi değerlendir.

Açıklamam: ..................................................................................
...............................................................................................

Biraz Daha Düşün! — Seçmeli

7. (OKN-07) Beş tek sayının toplamı 120 olabilir mi? Yalnızca tek–çift yapısını kullanarak gerekçelendir. Peki altı tek sayı için aynı bilgi tek başına ne söyler?

Gerekçem: ..................................................................................
...............................................................................................

8. (OKN-08) Aşağıdaki iddiayı incele: “Bir toplamda dört tek ve istediğimiz kadar çift terim varsa sonuç mutlaka çifttir.” İddia doğru mu? Sayıların değerlerini bilmeden nasıl karar verirsin? Bir de bu toplamın kesinlikle 100 olduğunu söyleyebilir misin?

Gerekçem: ..................................................................................
...............................................................................................

Sayıların parçalanması fikrine geçmek için Ders 02 öğrenci konu notuna bakabilirsin.