Öğrenci Konu Notu 00 — Sayı Nedir? Matematiğin Diline Yolculuk

Bu derste neler öğreneceğim?

• Bir sayı ile onu göstermek için kullandığımız işareti ayırt edeceğim.
• Rakamın bulunduğu basamağın ve sıfırın görevini açıklayacağım.
• Bir örüntüden tahmin yapıp “Neden?” sorusuna şekil veya sözle cevap arayacağım.

Matematik yalnızca sonucu bulmak değildir. Bir fikri fark etmek, tahmin etmek, açıklamak ve kontrol etmek de matematiktir.

1. Bir sayı, birçok gösterim

Masada beş taş olduğunu düşün. Bu miktarı 5, beş, V veya ● ● ● ● ● ile gösterebiliriz. İşaretler farklıdır; anlattıkları miktar aynıdır. Sayı miktar veya sıralama hakkında düşündüğümüz fikirdir. Rakam ise sayı yazarken kullandığımız 0, 1, 2, …, 9 işaretlerinden biridir. Örneğin 35, iki rakamla yazılmış bir sayıdır.

Dur ve Düşün “VII” ve “7” farklı görünüyor. Sence neden yine de aynı sayıyı anlatabilirler?

Bir işaretin anlamı kullanıldığı kurala da bağlıdır. Günlük yaşamda onluk sistemle yazdığımız 10, on demektir. Başka bir yazım sistemi aynı iki işarete başka bir anlam verebilir. Bu derste başka sistemlerde işlem yapmayacağız; işareti gördüğümüzde hangi kurala göre okuduğumuzu düşünmek yeterli.

2. Basamak değeri: Sıfır neden önemli?

37 sayısında 3, üç onluğu; 7, yedi birliği anlatır. 307 sayısında ise 3, üç yüzlüğü; 0, hiç onluk bulunmadığını; 7, yedi birliği anlatır:

307’deki 0’ı silersek 37 olur; sayı değişir. Burada 0, onlar basamağındaki yeri korur. Bu nedenle “0 hiçbir işe yaramaz” diyemeyiz. Bir rakamın değeri, bulunduğu basamağa göre değişir.

Çözümlü örnek — Aynı rakamlar, başka sayı

Soru: 406 ile 46 neden eşit değildir?

Çözüm: 406’da 4 yüzlük, 0 onluk, 6 birlik vardır. 46’da 4 onluk, 6 birlik vardır. Aynı 4 ve 6 rakamları kullanılsa da 4’ün bulunduğu basamak değişmiştir. 0’ı silmek bu basamağı değiştirir; dolayısıyla sayılar eşit değildir.

3. Bir örüntüden tahmin yapmak

Şu toplamları incele:

Sonuçlar birer kare düzenindeki birim kare sayılarıdır. Sıradaki tek sayı 9 olduğuna göre 1 + 3 + 5 + 7 + 9 toplamının 5 × 5 = 25 olacağını tahmin edebiliriz. Toplayarak 25 çıktığını kontrol ederiz.

Peki bu yalnızca birkaç kez rastlantıyla mı oldu? Kareleri büyütmeyi düşün. 2 × 2 kareyi 3 × 3 kareye tamamlamak için bir kenara ve alta toplam 5 yeni birim kare eklenir. 3 × 3 kareyi 4 × 4 kareye büyütürken 7 yeni birim kare gerekir. Yeni kenar ve alt sıra, her adımda sıradaki tek sayı kadar birim kare getirir. Bu şekil, örüntünün neden sürdüğünü açıklar.

Çözümlü örnek — Tahmin et, açıkla, kontrol et

Soru: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 toplamını tek tek toplamadan tahmin et.

Çözüm: Altı tek sayı var. Birim kare modeli sırasıyla 1 × 1, 2 × 2, … düzenlerine büyür; altıncı düzen 6 × 6’dır. Bu yüzden 36 tahmin ederim. Kontrol için gruplarsam (1 + 11) + (3 + 9) + (5 + 7) = 12 + 12 + 12 = 36. Şekil neden, toplama işlemi ise bu örnekte kaç sorusuna cevap verir.

4. Çok örnek görmek ile açıklamak arasındaki fark

Bir tahmin dört, yüz veya bin örnekte doğru çıkabilir. Bu örnekler tahminimizi güçlendirir; fakat henüz denemediğimiz durumlar olabilir. “Her zaman” diyebilmek için bir açıklama ararız. Kareleri büyütme düşüncesi, yalnızca bir sonraki sonucu hesaplamaktan daha güçlüdür: düzenin nasıl devam ettiğini gösterir.

Dikkat! Örnek bir fikri sınar; tek başına bütün durumları açıklamaz. Bir karşı örnek bulursak “her zaman” iddiasının yanlış olduğunu anlayabiliriz.

5. Biraz Daha Düşün! — İsteğe bağlı

6 × 6 kareyi 7 × 7 kareye büyütürken kaç yeni birim kare gerekir? Yeni üst kenar boyunca 7, sağ kenar boyunca 7 kare düşünebilirsin; köşedeki kareyi iki kez saymamak için birini çıkarırsın. Böylece 7 + 7 − 1 = 13 yeni kare gerekir. 6 × 6 = 36 olduğundan 36 + 13 = 49 ve 7 × 7 = 49 olur. Bu yöntem, toplama yapmadan da sıradaki adımı anlamamıza yardım eder.

6. Kısa özet

• Aynı sayı farklı işaretlerle anlatılabilir; işaretin kendisi sayı fikrinin tamamı değildir.
• Rakamın yeri değişirse değeri değişebilir. 0 bir basamağı koruyabilir.
• Örüntüden tahmin yapar, hesapla veya şekille kontrol ederiz. “Her zaman” için nedenini ararız.

Fark Et → Tahmin Et → Açıkla → Kontrol Et

7. Ders Sonu Soruları

Soruları önce kendin çöz. Yalnız sonucu değil, nasıl düşündüğünü de yaz.

1. (OKN-01) 6, VI, altı ve ● ● ● ● ● ● gösterimlerinden hangileri aynı sayıyı anlatır? Kısaca açıkla.

Yanıtım: ..................................................................................
...............................................................................................

2. (OKN-02) 508 sayısındaki her rakamın basamağını söyle. 0’ı silersen hangi sayı oluşur ve neden aynı sayı olmaz?

Yanıtım: ..................................................................................
...............................................................................................

3. (OKN-03) 9 sayısını rakamla yazmak dışında iki farklı yolla göster. Gösterimlerin neden aynı sayıyı anlattığını açıkla.

Yanıtım: ..................................................................................
...............................................................................................

4. (OKN-04) 1; 1 + 3; 1 + 3 + 5; 1 + 3 + 5 + 7 toplamlarının sonuçlarını yaz. Sonraki toplamı önce tahmin et, sonra hesaplayarak kontrol et.

Tahminim ve kontrolüm: ..............................................................
...............................................................................................

5. (OKN-05) Bir arkadaşın “307 ile 37 aynı rakamları içerir, bu yüzden eşittir” diyor. Yanlışı basamakları göstererek açıkla.

Açıklamam: ..................................................................................
...............................................................................................

6. (OKN-06) “İlk dört toplam kare sayı çıktı; demek ki bütün toplamlar kesinlikle kare sayıdır” diyen birine, örnek kontrolü ile yapısal açıklama arasındaki farkı anlat. Kareyi büyütme fikrini kullan.

Açıklamam: ..................................................................................
...............................................................................................

Biraz Daha Düşün! — Seçmeli

7. (OKN-07) 5 × 5 kareyi 6 × 6 kareye büyütmek için kaç yeni birim kare gerekir? Tek tek saymadan iki farklı biçimde kontrol et.

Çözümüm: ...................................................................................
...............................................................................................

8. (OKN-08) 1’den başlayarak art arda gelen ilk sekiz tek sayının toplamını tahmin et. Kare modeliyle nedenini anlat; ardından istediğin bir toplama yöntemiyle kontrol et.

Çözümüm: ...................................................................................
...............................................................................................